קיץ 2021 מועד מיוחד – שאלה 1 סעיף באינדוקציה 571 · בגרות 571

אינדוקציה · שאלון 571

קיץ 2021 מועד מיוחד – שאלה 1 סעיף ב

פרק 6 – שאלות בגרות 571 – אינדוקציה

1נוסח השאלה

2סעיף ב (1) – המספר שנמחק

3סעיף ב (2) – הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

בחוברת לימוד ישנה ומוכתמת נמצא התרגיל הבא:

הוכיחו כי לכל n טבעי מתקיים השוויון הבא:

1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 9 + …

+ n · 3^{n − 1} = (2n − 1)3ⁿ + ▒4

אחד המספרים באגף ימין של התרגיל נמחק (סומן כאן ▒).

(1) מצאו את המספר שנמחק.

(2) הציבו את המספר שמצאתם והוכיחו באינדוקציה, או בדרך אחרת, כי השוויון מתקיים לכל n טבעי.

סעיף ב (1) – המספר שנמחק

1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 9 + …
+ n · 3^{n − 1} = (2n − 1)3ⁿ + ▒4

נסמן את המספר שנמחק ב־x. השוויון צריך להתקיים גם בעבור n = 1:

1 · 1 = (2 − 1) · 3¹ + x4

1 = 3 + x4

3 + x = 4

x = 1

✅ פתרון סופי: המספר שנמחק הוא 1

סעיף ב (2) – הוכחה באינדוקציה

1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 9 + …
+ n · 3^{n − 1} = (2n − 1)3ⁿ + ▒4

נוכיח:

1 · 1 + … + n · 3^{n − 1}

= (2n − 1)3ⁿ + 14

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

אגף שמאל: 1 · 1 = 1. אגף ימין:

1 · 3 + 14 = 44 = 1 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

סעיף ב (2) – הוכחה באינדוקציה · המשך

1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 9 + …
+ n · 3^{n − 1} = (2n − 1)3ⁿ + ▒4

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

1 · 1 + … + k · 3^{k − 1}

= (2k − 1)3^k + 14

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

האיבר האחרון: (k + 1) · 3^k. ובאגף ימין 2(k + 1) − 1 = 2k + 1:

1 · 1 + … + (k + 1) · 3^k

סעיף ב (2) – הוכחה באינדוקציה · המשך

1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 9 + …
+ n · 3^{n − 1} = (2n − 1)3ⁿ + ▒4

1 · 1 + … + (k + 1) · 3^k

= (2k + 1)3^{k + 1} + 14

נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= (2k − 1)3^k + 14 + (k + 1)3^k

מכנה משותף 4:

= (2k − 1)3^k + 4(k + 1)3^k + 14

נוציא גורם משותף 3^k:

📐 הוצאת גורם משותף

= 3^k(2k − 1 + 4k + 4) + 14

📐 הנחת האינדוקציה

1 · 1 + … + k · 3^{k − 1}
= (2k − 1)3^k + 14

📐 הוצאת גורם משותף

ab + ac = a(b + c)

סעיף ב (2) – הוכחה באינדוקציה · המשך

1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 9 + …
+ n · 3^{n − 1} = (2n − 1)3ⁿ + ▒4

= 3^k(2k − 1 + 4k + 4) + 14

= 3^k(6k + 3) + 14

= 3^k · 3(2k + 1) + 14

חוקי חזקות: 3^k · 3 = 3^{k + 1}:

📐 חוקי חזקות

= (2k + 1)3^{k + 1} + 14 ✓

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 חוקי חזקות

a^m · aⁿ = a^{m + n}

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא